第20节

  原本的时空他管不着也没能力去管,但在这个时间点里,徐云不会让杨辉三角与帕斯卡共享其名!
  有牛老爷子做担保,杨辉三角就是杨辉三角。
  一个只属于华夏的名词!
  随后徐云心中呼出一口浊气,继续动笔在上面画了几条线:
  “牛顿先生,您看,这个三角的两条斜边都是由数字1组成的,而其余的数都等于它肩上的两个数相加。
  从图形上说明的任一数c(n,r),都等于它肩上的两数c(n-1,r-1)及c(n-1,r)之和。”
  说着徐云在纸上写下了一个公式:
  c(n,r)=c(n-1,r-1)+c(n-1,r)(n=1,2,3,···n)
  以及……
  (a+b)^2=a^2+2ab+b^2
  (a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3
  (a+b)^4=a^4+4a^3b+6a^2b^2+6ab^3+b^4
  (a+b)^5=a^5+5a^4b+10a^3b^2+10a^2b^3+5ab^4+b^5
  在徐云写到三次方那栏时,小牛的表情逐渐开始变得严肃。
  而但徐云写到了六次方时,小牛已然坐立不住。
  干脆站起身,抢过徐云的笔,自己写了起来:
  (a+b)^6=a^6+6a^5b+15a^4b^2+20a^3b^3+15a^2b^4+6ab^5+a^6!
  很明显。
  杨辉三角第n行的数字有n项,数字和为2的n-1次幂,(a+b)的n次方的展开式中的各项系数依次对应杨辉三角的第(n+1)行中的每一项!
  虽然这个展开式对于小牛来说毫无难度,甚至可以算是二项式展开的基础操作。
  但是,这还是头一次有人如此直观的将开方数用图形给表达出来!
  更关键的是,杨辉三角第n行的m个数可表示为c(n-1,m-1),即为从n-1个不同元素中取m-1个元素的组合数。
  这对于小牛正在进行的二项式后续推导,无疑是个巨大的助力!
  但是……
  小牛的眉头又逐渐皱了起来:
  杨辉三角的出现可以说给他打开了一个新思路,但对于他现在所卡顿的问题,也就是(p+pq)m/n的展开却并没有多大帮助。
  因为杨辉三角涉及到的是系数问题,而小牛头疼的却是指数问题。
  现在的小牛就像是一位骑行的老司机。
  拐过一个山道时忽然发现前方百米过后一马平川,景色壮美,但面前十多米处却有一个巨大的落石堆挡路。
  而就在小牛纠结之时,徐云又缓缓说了一句话:
  “对了,牛顿先生,韩立爵士对于杨辉三角也有所研究。
  后来他发现二项式的指数似乎并不一定需要是整数,分数甚至负数似乎也是可行的。”
  “负数的论证方法他没有说明,但却留下了分数的论证方法。”
  “他将其称为……”
  “韩立展开!”
  ……
  第25章 韩·数学鬼才·立
  屋子里,徐云正在侃侃而谈:
  “牛顿先生,韩立爵士计算发现,二项式定理中指数为分数时,可以用e^x=1+x+x^2/2!+x^3/3!+……+x^n/n!+……来计算。”
  说着徐云拿起笔,在纸上写下了一行字:
  当n=0时,e^x>1。
  “牛顿先生,这里是从x^0开始的,用0作为起点讨论比较方便,您可以理解吧?”
  小牛点了点头,示意自己明白。
  随后徐云继续写道:
  假设当n=k时结论成立,即e^x>1+x/1!+x^2/2!+x^3/3!+……+x^k/k!(x>0)
  则e^x-[1+x/1!+x^2/2!+x^3/3!+……+x^k/k!]>0
  那么当n=k+1时,令函数f(k+1)=e^x-[1+x/1!+x^2/2!+x^3/3!+……+x^(k+1)/(k+1)]!(x>0)
  接着徐云在f(k+1)上画了个圈,问道:
  “牛顿先生,您对导数有了解么?”
  小牛继续点了点头,言简意赅的蹦出两个字:
  “了解。”
  学过数学的朋友应该都知道。
  导数和积分是微积分最重要的组成部分,而导数又是微分积分的基础。
  眼下已经时值1665年末,小牛对于导数的认知其实已经到了一个比较深奥的地步了。
  在求导方面,小牛的介入点是瞬时速度。
  速度=路程/时间,这是小学生都知道的公式,但瞬时速度怎么办?
  比如说知道路程s=t^2,那么t=2的时候,瞬时速度v是多少呢?
  数学家的思维,就是将没学过的问题转化成学过的问题。
  于是牛顿想了一个很聪明的办法:
  取一个”很短”的时间段△t,先算算t=2到t=2+△t这个时间段内,平均速度是多少。
  v=s/t=(4△t+△t^2)/△t=4+△t。
  当△t越来越小,2+△t就越来越接近2,时间段就越来越窄。
  △t越来越接近0时,那么平均速度就越来越接近瞬时速度。
  如果△t小到了0,平均速度4+△t就变成了瞬时速度4。
  当然了。
  后来贝克莱发现了这个方法的一些逻辑问题,也就是△t到底是不是0。
  如果是0,那么计算速度的时候怎么能用△t做分母呢?鲜为人……咳咳,小学生也知道0不能做除数。
  到如果不是0,4+△t就永远变不成4,平均速度永远变不成瞬时速度。
  按照现代微积分的观念,贝克莱是在质疑lim△t→0是否等价于△t=0。
  这个问题的本质实际上是在对初生微积分的一种拷问,用“无限细分”这种运动、模糊的词语来定义精准的数学,真的合适吗?
  贝克莱由此引发的一系列讨论,便是赫赫有名的第二次数学危机。
  甚至有些悲观党宣称数理大厦要坍塌了,我们的世界都是虚假的——然后这些货真的就跳楼了,在奥地利还留有他们的遗像,某个扑街钓鱼佬曾经有幸参观过一次,跟七个小矮人似的,也不知道是用来被人瞻仰还是鞭尸的。
  这件事一直到要柯西和魏尔斯特拉斯两人的出现,才会彻底有了解释与定论,并且真正定义了后世很多同学挂的那棵树。
  但那是后来的事情,在小牛的这个年代,新生数学的实用性是放在首位的,因此严格化就相对被忽略了。
  这个时代的很多人都是一边利用数学工具做研究,一边用得出来的结果对工具进行改良优化。
  偶尔还会出现一些倒霉蛋算着算着,忽然发现自己这辈子的研究其实错了的情况。
  总而言之。
  在如今这个时间点,小牛对于求导还是比较熟悉的,只不过还没有归纳出系统的理论而已。
  徐云见状又写到:
  对f(k+1)求导,可得f(k+1)'=e^x-1+x/1!+x^2/2!+x^3/3!+……+x^k/k!
  由假设知f(k+1)'>0
  那么当x=0时。
  f(k+1)=e^0-1-0/1!-0/2!-.-0/k+1!=1-1=0
  所以当x>0时。
  因为导数大于0,所以f(x)>f(0)=0
  所以当n=k+1时f(k+1)=e^x-[1+x/1!+x^2/2!+x^3/3!+……+x^(k+1)/(k+1)]!(x>0)成立!
  最后徐云写到:
  综上所属,对任意的n有:
  e^x>1+x/1!+x^2/2!+x^3/3!+……+x^n/n!(x>0)
  论述完毕,徐云放下钢笔,看向小牛。
  只见此时此刻。
  这位后世物理学的祖师爷正瞪大着那一双牛眼,死死地盯着面前的这张草稿纸。
  诚然。
  以目前小牛的研究进度,还不太好理解切线与面积的真正内在含义。
  但了解数学的人都知道,广义二项式定理其实就是复变函数的泰勒级数的特殊情形。
  这个级数与二项式定理是兼容的,系数符号也是与组合符号兼容的。
  所以二项式定理可以由自然数幂扩充至复数幂,组合定义也可以由自然数扩充至复数。

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